Математики разгадали многолетнюю загадку о порядке, скрытом в многомерной случайности

Трое математиков представили доказательство, дающее решение давней математической проблеме. «Даже сам математик, лауреат Абелевской премии, впервые поставивший задачу, не верил, что она когда-нибудь будет разрешена», — пишут в Phys. 

Коротко: задачу поставил в 1995 году лауреат Абелевской премии Мишель Талагран. Она звучит так: реально ли создать выпуклую фигуру за фиксированное, не зависящее от размерности пространства число шагов — сумм Минковского? При этом сумма Минковского — это сложение множеств каждой точки с каждой. С ростом числа измерений сложность операций и фигур увеличивается, причем экспоненциально — подобный эффект еще называют «проклятием размерности».

Решением занимались Дунмин Хуа и Антуан Сон из Калифорнийского технологического института. Они хотели отыскать доказательство с помощью ИИ. Как они сами заявили, модель способствовала приближению решения, но не дала его полностью. Третий математик, Штефан Тудозе из Принстонского университета, присоединился к коллегам позднее. При этом его подход, как заявляется, оказался «более общим и концептуальным», чему у нейросети.

По итогу ученые переформулировали геометрическую гипотезу в задачу теории вероятностей и случайных векторов. Так им удалось доказать эквивалентную вероятностную гипотезу: любой 1-субгауссовский случайный вектор в n-мерном пространстве можно представить в виде суммы трех стандартных гауссовских случайных векторов.

Таким образом, проблема выпуклости Талаграна оказалась решена — для любого достаточно массивного множества в гауссовом пространстве внутри тройной суммы исходного множества есть выпуклое множество значительной меры.

Есть о чем рассказать? Пишите в наш телеграм-бот. Это анонимно и быстро